30.06.2023

Pisut selleaastastest lõputöödest: matemaatika bakalaureuseõpe

Matemaatika ja statistika instituudis kaitsti edukalt matemaatika õppekaval 11 bakalaureusetööd. Lõputöid oli peamiselt algebra valdkonnast, kuid oli ka töid, mis võib klassifitseerida analüüsi ja kombinatoorika valdkonda. Lühidalt saab tutvuda nende töödega allpool ning tööd on kättesaadavad siin.

Abstraktse algebra põhimõisteks on rühm, see tähendab hulk koos temal defineeritud tehtega (näiteks täisarvud liitmise suhtes, nullist erinevad reaalarvud korrutamise suhtes vms). Kui G on rühm ja X on mingi (muu) hulk, siis rühma G (parempoolseks) toimeks hulgal X nimetatakse teatud tingimusi rahuldavat funktsiooni hulgast X×G hulka X. Kui aga mõnele paarile (x,g)∈X×G jätta hulgas X vaste andmata, saadakse osalise toime mõiste. Osaliste toimete (ja seonduvate osaliste funktsioonide) uurimine on viimase kümmekonna aastaga hoogustunud; Anete Milleri lõputöös kirjutatakse lahti selleteemaline mõistevõrk, tuuakse näiteid ning tõestatakse üks folkloorsena tuntud tulemus (seos rühmade osaliste toimete ja rühmast sümmeetrilisse inverssesse monoidi viivate ühikut säilitavate eelmorfismide vahel).

Tänapäeval laialt kasutatavad krüpteerimisskeemid on kvantarvuti poolt paraku murtavad. Seega otsitakse kogu maailmas palavikuliselt selliseid krüpteerimisskeeme (ning matemaatilisi struktuure, millele baseeruvalt saaks taolisi skeeme luua), mis võiks olla võimalikult kvantarvuti-kindlad. Brett Johannes Hankewitzi lõputöö refereeribki üht taolist ideed, nimelt D. Gligoroski poolt 2021. a. väljapakutud lõplikel entropoididel baseeruvat krüptograafiat. Kui “tavaline” krüptograafia tugineb suuresti rühmateoorial (nagu öeldud, rühm on teatav ühe tehtega hulk, näiteks nullist erinevad jäägiklassid algarvulise jagaja järgi ja tehteks on korrutamine), siis entropoid on selline rühm, millel on lisaks defineeritud teatav täiendav tehe: a⊞b=a·f(b), kus · on rühma (korrutamis)tehe ja f on selle rühma mingi teisendus.

τ-arvuks nimetatakse naturaalarvu n, mis jagub oma (positiivsete) jagajate arvuga, ehk sümboolselt, τ(n)∣n. (Nii näiteks 8 on τ-arv, sest tal on 4 jagajat: 1, 2, 4 ja 8, ning 8 jagub nende arvuga (4-ga).) Nagu matemaatikas ikka, mõisteid proovitakse üldistada – naturaalarvu n nimetatakse τ-arvuks täisarvuliste kordajatega polünoomi Q suhtes, kui τ(n)∣Q(n). Ekke-Markus Muttika lõputöös uuritakse 2002. aastast pärit hüpoteesi, mille kohaselt iga täisarvuliste kordajatega polünoomi Q suhtes leidub lõpmata palju τ-arve. Muu hulgas tehakse arvutieksperimente, otsimaks τ-arve ruutpolünoomide suhtes.

Greeni–Tao teoreem, 21. sajandi tuntumaid tulemusi arvuteooria valdkonnas, ütleb, et algarvude hulgas leidub kuitahes pikki mittekonstantseid aritmeetilisi jadasid. Hendrik Vija lõputöös kirjutatakse üksikasjalikult lahti Greeni–Tao teoreemi mõnevõrra lihtsam, lühem ja vähem tehniline tõestus, mis pärineb 2014. aastast. Ent ka see tõestus kasutab lisaks arvuteooriale komponente mitmest matemaatika valdkonnast – matemaatilisest analüüsist, mõõduteooriast ja kombinatoorikast.

Graaf. Joonis Hendrik Vija
Autor: Matemaatika ja statistika instituut / Institute of Mathematics and Statistics

Joonis Hendrik Vija bakalaureusetööst

Meetrilist ruumi nimetatakse plastiliseks, kui iga punktidevahelisi kaugusi mittesuurendav üksühene vastavus tegelikult säilitab need kaugused. Kaarel August Kuriku lõputöös saadi uusi tulemusi rangelt kumerate Banachi ruumide ühikkerade teatava lõpliku summa plastilisuse kohta. Lõputöö on avaldamispiiranguga, sest töö tulemuste põhjal on kavas kirjutada teadusartikkel ning autorid soovivad maandada loomevarguse riski.

Müüontomograafias kasutatakse objektist kolmemõõtmelise kujutise moodustamisel ära müüoneid – elementaarosakesi, mis tekivad Maa atmosfääris kosmilise kiirguse interaktsioonide kaudu. Registreerides osakeste sisenemist ja väljumist detektoris saab arvutada iga müüoni hajumisnurga läbitud objektis, mis annab informatsiooni selle objekti kuju ja materjali kohta. Kristel Sauli lõputöös uuriti müüontomograafia lahutusvõimet, kirjeldades müüonite hajumisnurki erinevate tõenäosusjaotustega. Lõputöö on avaldamispiiranguga, sest töö tulemuste põhjal on kavas kirjutada teadusartikkel ning autorid soovivad maandada loomevarguse riski.

Kristiina Oksneri lõputöö on kodeerimisteooria vallast. Vaatleme kahe osapoolega näidet, kus ühe käsutuses on hulk A ja teisel hulk B, kusjuures mõlemad koosnevad pikkusega n kahendvektoritest. Eesmärk on arvutada ühendi A∪B elementide summa (ehk “välistav VÕI”), mis elemendikaupa on teatavasti defineeritud kui 0+0=1+1=0 ja 1+0=0+1=1. Lõputöös on tõestatud, et osapooltel on vaja vahetada vähemalt 2 C(n,2) − n log2(n) bitti informatsiooni selle eesmärgi saavutamiseks. Tõestuses on kasutatud A. C. Yao poolt 1979. aastal välja pakutud monokromaatiliste ristkülikute meetodit.

Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetatakse kvadratuurvalemiteks; iga sellise valemi puhul kerkib küsimus tema täpsusest, teiste sõnadega, jääkliikmest, mis on integraali tõelise väärtuse ja ligikaudse väärtuse vahe. Marie Tempeli lõputöös vaadeldakse interpolatsioonitüüpi kvadratuurvalemeid, see tähendab, meetodit, kus integreerimislõik jaotatakse osalõikudeks ja vaadatakse funktsiooni väärtusi ainult osalõikude otspunktides. Selliste valemite jääkliikme R klassikaline kuju sisaldab integreeritava funktsiooni kõrget järku tuletist integreerimislõigu mingis konkreetses punktis, näiteks

Jääkliikme valem
Autor: Matemaatika ja statistika instituut / Institute of Mathematics and Statistics

Töös on õpikute eeskujul tõestatud, et jääkliige esitub ka kujul, mis kasutab määratud integraali ja diferentssuhteid, näiteks

Jääkliikme valem
Autor: Matemaatika ja statistika instituut / Institute of Mathematics and Statistics

Näidetena on vaadeldud trapetsvalemi ja Simpsoni valemi jääkliikmeid.

Viimased kolm lõputööd on taas abstraktsest algebrast.

Hulka M koos temal defineeritud tehtega ∗, mis on assotsiatiivne (st. alati a∗(b∗c)=(a∗b)∗c) ning mille suhtes on olemas ühikelement (st. element e nii, et iga a∈M korral a∗e=e∗a=a), nimetatakse monoidiks. (Muuseas, iga rühm on monoid.) Raido Rehepapp’i lõputöös kirjutatakse lahti üks 1983. aastast pärit tulemus, täpsemalt, järgmiste implikatsioonide tõestused:


M on inversne ⇒ M on absoluutselt lame ⇒ M on regulaarne.


Sealjuures regulaarsuse ja inverssuse mõisted on lihtsad – M on regulaarne, kui iga a∈M korral leidub element b∈M nii, et a=a∗b∗a; M on inversne, kui iga a∈M korral leidub üheselt määratud element b∈M nii, et a=a∗b∗a ja b=b∗a∗b. Absoluutselt lameduse mõiste definitsioon on aga keerukam ning siiani pole sellele lihtsat (ainult monoidi enda terminites sõnastatavat) kuju suudetudki anda. Huvitav on veel märkida, et kumbki ülaltoodud implikatsioonidest pole pööratav (leiduvad vastavad kontranäited).

Monoidist üldisem struktuur on poolrühm, kus nõutakse ainult tehte assotsiatiivsust (aga mitte ühikelemendi olemasolu). Vaatleme olukorda, kus R ja S on poolrühmad, mille tehted on vastavalt ∗ ja ⬩, siis iga funktsiooni f: R⭢S, mis rahuldab tingimust f(a∗b)=f(a)⬩f(b), nimetatakse poolrühmade homomorfismiks. Kadi Siiguri lõputöös vaadeldakse püsivaid homomorfisme; homomorfismi f püsivus tähendab enam-vähem seda, et võrdusest s⬩f(r)=t⬩f(p) järeldub paaride (s,r) ja (t,p) teatud mõttes ekvivalentsus ning võrdusest f(r)⬩s=f(p)⬩t järeldub paaride (r,s) ja (p,t) teatud mõttes ekvivalentsus. (Populaarselt võiks öelda, et püsivuse korral on korrutises peidus palju informatsiooni selle kohta, mis olid tegurid.) Muuhulgas antakse töös uus tõestus V. Laan’e ja L. Marín’i tulemusele püsivate homomorfismide kompositsiooni püsivuse kohta.

Abstraktse algebra üks põhiülesandeid on struktuuride klassifitseerimine (näiteks lõplike lihtsate rühmade täielik klassifikatsioon oli 2004. aastaks lõpule viidud); kuna struktuure on palju (ja paljud neist on lõpmatud), siis püütakse leida mõttekaid vaatepunkte, millest lähtudest mingid struktuurid on ekvivalentsed. Andres Truu lõputöös antakse üksikasjalik tõestus M. Lawsoni ja B. Afara 2011. aastast pärit tulemusele, mis väidab, et kõik inverssed poolrühmad R, mis on Morita ekvivalentsed fikseeritud inversse poolrühmaga S, on esitatavad teataval maatrikskujul (täpsemalt, on isomorfsed teatava Reesi maatrikspoolrühmaga). Meenutame eestpoolt, et poolrühm on inversne, kui tema igale elemendile a leidub üheselt määratud element b (nii-öelda a pöördelement) nii, et a=a∗b∗a ja b=b∗a∗b.

Palju õnne edukalt lõpetanutele!