Murrulised tuletised, iseärasustega diferentsiaal - ja integraalvõrrandid ning mittekorrektsed ülesanded

Murrulist (mitte täisarvulist) järku diferentsiaalvõrrandid kirjeldavad sageli mitmesuguste materjalide ja protsesside käitumist paremini kui klassikalised täisarvulist järku tuletistega võrrandid. Murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite täpse lahendi leidmine ei ole aga enamasti võimalik ja seega peame nende lahendeid leidma ligikaudselt, mis nõuab spetsiaalsete meetodite väljatöötamist. Jätkuvalt on aktuaalne ka küsimus, millised funktsioonid üldse on murruliselt diferentseeruvad.

Hägusates integraal- ja diferentsiaalvõrrandites esinevate funktsioonide väärtusteks on hägusad arvud, mis kirjeldavad olukorda, kus informatsioon on mittetäielik või ebatäpne, näiteks mõõtmisvigade tõttu. Huvi pakuvad selliste võrrandite lahendite olemasolu ja ühesus, lahendi siledus, samuti ka numbrilised lahendusmeetodid.

Mittekorrektsete ülesannete korral ülesande lahend ei sõltu pidevalt lähteandmetest ning  lähteandmete vigade (näit. mõõtmisvigade) mõju vähendamiseks kasutatakse selliste ülesannete lahendamiseks spetsiaalseid regulariseerimismeetodeid. Regulariseerimismeetodite kasutamisel on põhiprobleemiks sobiva nn regulariseerimisparameetri valik sõltuvalt infost lähteandmete veataseme kohta. Praktikas pole veataseme info sageli teada ning erilist huvi pakuvad seda infot mittekasutavad parameetri valikureeglid.

Uurimisrühma koosseis

• professor Arvet Pedas (uurimisrühma juht)
• kaasprofessor Uno Hämarik
• kaasprofessor Urve Kangro
• kaasprofessor Toomas Raus
• lektor Kaido Lätt
• teadur Mikk Vikerpuur
• nooremteadur Margus Lillemäe
• nooremteadur Hanna Britt Soots
• doktorant Britt Kalam
• doktorant Erik-Jürgen Määrits

Uurimisküsimused

• funktsioonide murrulise diferentseeruvuse tingimused;
• efektiivsed lahendusmeetodid  murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite, hägusate diferentsiaal- ja integraalvõrrandite, nõrgalt singulaarsete integraalvõrrandite ning südamlike Volterra integraalvõrrandite jaoks;
• mittekorrektsete ülesannete lahendusmeetodid ja regulariseerimisparameetri valikureeglid.

Uurimisrühma projektid

Praegused projetktid

• PRG 864 Murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandite ning integraalvõrrandite ja mittekorrektsete ülesannete teoreetiline ja numbriline analüüs

Lõppenud olulisemad projektid

• ETF9104 Singulaarsustega integraal- ja diferentsiaalvõrrandid (01.2012-06.2016)
• ETF9120 Mittekorrektsed ülesanded (01.2012-06.2016)
• PUTJD840 Singulaarsed murrulist järku tuletistega integro-diferentsiaalvõrrandid (12.2019-02.2021)

Olulisemad publikatsioonid

• Diogo, Teresa; Pedas, Arvet; Vainikko, Gennadi (2020). Integral equations of the third kind in Lp spaces.  Journal of integral equations and applications, 32 (4), 417-427.
• Raus, Toomas; Hämarik, Uno (2020). Q-curve and area rules for choosing heuristic parameter in Tikhonov regularization. Mathematics, 8 (7, 1166), 1−21.
• Kangro, Urve (2017). Cordial Volterra integral equations and singular fractional integro-differential equations in spaces of analytic functions. Mathematical Modelling and Analysis, 22 (4), 548−567.
• Pedas, Arvet; Tamme, Enn; Vikerpuur, Mikk (2017). Smoothing transformation and spline collocation for nonlinear fractional initial and boundary value problems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 317, 1−16.
• Vainikko, Gennadi (2016). Which functions are fractionally differentiable? Zeitschrift für Analysis und Ihre Anwendungen, 35 (4), 465−487.
• Hämarik, Uno; Kaltenbacher, Barbara; Kangro, Urve; Resmerita, Elena (2016). Regularization by discretization in Banach spaces. Inverse Problems, 32 (3, 035004), 1−28.
• Lätt, Kaido; Pedas, Arvet; Vainikko, Gennadi (2015). A Smooth Solution of a Singular Fractional Differential Equation. Zeitschrift für Analysis und Ihre Anwendungen, 34 (2), 127−146.
• Hämarik, Uno; Kangro, Urve; Palm, Reimo; Raus, Toomas; Tautenhahn, Ulrich (2014). Monotonicity of error of regularized solution and its use for parameter choice. Inverse Problems in Science and Engineering, 22 (1), 10−30.
• Pedas, Arvet; Tamme, Enn (2012). Piecewise polynomial collocation for linear boundary value problems of fractional differential equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 236 (13), 3349−3359.

Meie tegevuse kohta mittekorrektsete ülesannete uurimisel saab lisainfot kodulehelt.