Pisut selle aasta lõputöödest: matemaatika ja statistika magistriõppe matemaatika eriala

Matemaatika ja statistika instituudis kaitsti edukalt matemaatika ja statistika magistriõppe matemaatika erialal neli magistritööd. Edukalt kaitsesid oma töö Marilyn Kutti, Urmas Luhaäär, Erik-Jürgen Määrits ja Heleen Saarse. Loe lähemalt allpool.

Kaitsmine toimus 7. juunil. Palju õnne töö edukalt kaitsnutele!

Marilyn Kutti töös vaadeldakse maatrikseid üle lineaarselt järjestatud Abeli rühma A ja üle kommutatiivse monoidi A^⊥, mis on saadud rühmast A välise vähima elemendi ⊥ lisamisel. Analüüsitakse teist järku ruutmaatriksite poolrühmade (M_2(A), ·)  ja  (M_2(A^⊥), ·) struktuuri, kus maatriksite korrutamine on defineeritud sarnaselt troopiliste maatriksite korrutamisega. Antakse poolrühma (M_2(A), ·) Greeni seoste R, L ja H kirjeldus ning poolrühma (M_2(A^⊥), ·) idempotentide kirjeldus. Näidatakse, et poolringis M_2(A^⊥) on kõik nullist erinevad idempotendid täisidempotendid.

Urmas Luhaäära töös olgu S monoid. Siis on tugev osaline S-akt osaline S-akt, mis tekib mõne elemendi väljajätmisel globaalsest S-aktist. Kui A on osaline akt ja B on A globaliseerumine, mis on genereeritud A elementidest, siis ütleme, et B on A-st genereeritud globaliseerumine A-st. Kellendonk ja Lawson on näidanud, et kui S on rühm, siis on iga tugevast A-st genereeritud osaline S-akt üheselt globaliseeruv. See ei kehti aga monoidide puhul. Laan ja Kudrjavtseva andsid kaks konstruktsiooni poolrühmaaktide globaliseerimiseks: tensorprodukti globaliseerimine A⊗S ja hom-hulga globaliseerimine AS. Seejärel näitasid nad, et need konstruktsioonid ei pea olema isomorfsed. Oma töös annab ta hom-hulga globaliseerimise definitsiooni osaliste aktide morfismidele, mis annab ausa funktori tugevate osaliste S-aktide kategooriast globaalsetele S-aktidele, kuid mitte reflektori või koreflektori. Näitab A-sündinud globalisatsioonide isomorfismiklassid moodustavad täieliku võre, mis on duaalne Con A⊗S alamvõrega. Lõpuks tõestab, et rühmad on ainsad monoidid, mille puhul kõik tugevad osalised aktid on üheselt globaliseeritavad.

Erik-Jürgen Määritsa magistritöös vaadeldakse Caputo murrulist tuletist sisaldava algväärtusülesande lahendamist tükiti polünomiaalse kollokatsioonimeetodi abil. Caputo murrulist tuletist sisaldavad diferentsiaalvõrrandid on rakendustes tänapäeval väga oluliseks osutunud. Põhjendatakse selle meetodi koondumist ja koondumise järku. Tuuakse sisse itereeritud meetod lähislahendi leidmiseks ja uuritakse selle koondumise järku. Vaadeldakse ka ühe konkreetse näidisülesande lahendamist antud teoreetilises raamistikus.

Heleen Saarse töös defineeritakse osalised moodulid ja vaadeldakse nende erinevaid omadusi. Osalised algebralised struktuurid ilmuvad matemaatikas loomulikes kohtades. Näiteks on lahutamine naturaalarvudel osaline tehe. Käsitletakse osaliste moodulite tensorkorrutist ja töö põhitulemusena näidatakse, et teatud eeldustel on osaliste moodulite tensorfunktor hom-funktori vasakpoolne kaasfunktor.