Pisut selleaastastest lõputöödest: matemaatika erialal kaitsti kaks magistritööd

Matemaatika ja statistika õppekava matemaatika erialal kaitsti tänavu kaks magistritööd, mõlemad funktsionaalanalüüsi vallast. Kaitsjateks olid Jaagup Kirme ja Jaan Kristjan Kaasik. Loe edasi, mis teemasid käsitleti tänavu kaitstud matemaatika magistritöödes.

Banachi ruumid (vektorruumid, mille igale vektorile on omistatud pikkus ehk norm) kerkivad matemaatikas esile sageli, näiteks lähendusteoorias, diferentsiaal- ja integraalvõrrandite teoorias ja mujal. Lõpmatumõõtmeliste Banachi ruumide uurimiseks on otstarbekas tuua sisse mitmesuguseid geomeetrilisi omadusi, mille kaudu neid eritleda. Jaagup Kirme uuris tingimusi, millal leiab Banachi ruumide X ja Y korral aset üks taolistest omadustest – pidevate lineaarsete funktsioonide f:X→Y kuitahes hästi lähendatavus normi saavutavate pidevate lineaarsete funktsioonidega (pidevate lineaarsete funktsioonide Banachi ruumi elemendi g:X→Y norm on selline võimalikult väike arv ‖g‖, mitu korda vektor g(x) võib olla maksimaalselt pikem vektorist x, valemina kirjutades „iga x∈X korral ‖g(x)‖⩽‖g‖⋅‖x‖“. Normi saavutav on g siis, kui mingi mittenullise vektori x korral on viimases võrratuses võimalik saada võrdus). Sellise omaduse uuringud algasid juba 1960ndatel; Kirme annab sellest ülevaate ning parendab üht 2011. aastast pärinevat tulemust.

Jaan Kristjan Kaasik uuris Lipschitzi-vabade ruumide 𝓕(M) omadusi. Need ruumid on olulised, sest võimaldavad (üldjuhul mittelineaarsed) Lipschitzi (ehk n-ö tõkestatud tõusuga) funktsioonid, mille lähtehulk on mingi meetriline ruum M, jätkata lineaarseteks funktsioonideks lähtehulgaga 𝓕(M). Lineaarsete funktsioonide uurimine, võrreldes mittelineaarsetega, on palju lihtsam, aga Banachi ruum 𝓕(M) on võrreldes meetrilise ruumiga M alati palju keerukam. Kaasik tõestas oma töös, et Lipschitzi-vaba ruum 𝓕(M) on lokaalse peaaegu ruudu omadusega parajasti siis, kui ruum M on liinkaugusega ruum, ning on tõestatud, et ükski Lipschitzi-vaba ruum ei ole peaaegu ruudu omadusega.

Palju õnne eduka lõpu puhul! Matemaatika ja statistika instituudis kaitstud tööde loetelu võib näha SIIT.