Pisut selleaastastest lõputöödest: matemaatika bakalaureuseõpe

Matemaatika ja statistika instituudis kaitsti edukalt matemaatika õppekaval kuus bakalaureusetööd 13. juunil, üks bakalaureusetöö 20. juunil ning kaks bakalaureusetööd 25. augustil. Kaitsjateks olid Erki Külaots, Heleen Saarse, Johanna Maria Kirss, Kristjan Vimm, Martin Puškin, Urmas Luhaäär, Deivid Saad, Jon Hendrik Aruväli ja Jaanus Tomson. Loe edasi, mis teemasid käsitleti tänavu kaitstud bakalaureusetöödes.

Erki Külaotsa lõputöös tutvuti tuntud kolme keha ülesandega (leida kolme keha liikumisvõrrandid, tingimusel, et nad alluvad Newtoni gravitatsiooniseadusele). Töös sõnastati üldkujul n keha ülesanne, lahendati kõigepealt kahe keha ülesannet ning seejärel uuriti kolme keha ülesande mõnda erilahendite klassi – Euleri ja Lagrange’i lahendeid ning 8-kujulist lahendit, samuti viimase trajektoori lähendamist tuntud kõveratega (lemniskaatidega).

Abstraktse algebra uurimisobjektiks on hulgad A koos nendel defineeritud tehetega (ehk funktsioonidega paaride hulgast A×A hulka A), üheks lihtsaimaks näiteks on täisarvude hulk liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Praegusel ajal on üks perspektiivseid uurimissuundi vaadelda osalisi tehteid, see tähendab, ülaltoodud funktsioonide üldistusi, kus mõnele argumendipaarile tehte korral vastust ei ole. Prototüübiks oleks siin näiteks täisarvude hulk jagamistehte suhtes. Heleen Saarse uuris polügooni (hulk A, millel defineeritud tehteks on sobivalt poolt hulgast S võetud elemendiga korrutamine – S omakorda peab olema poolrühm, see tähendab, peab olema defineeritud ka S elementide omavaheline korrutamine) mõiste osalist versiooni ning tõestas ühe 2000. aastast pärineva monograafia polügoonide-teemaliste teoreemide osalised versioonid.

Johanna Maria Kirsi töö lähtekohaks on arvuteoorias tuntud Möbiuse funktsioon μ(n), mille algne definitsioon on järgmine: kui n sisaldab tegurina täisruutu, siis μ(n)=0; kui n on ruuduvaba ja tema algtegurite arv on paaritu, siis μ(n)=–1, muul juhul μ(n)=1. Nii näiteks μ(6)=1, μ(7)=–1, aga μ(8)=0. Möbiuse funktsioon on üldistatav suvaliste osaliselt järjestatud hulkade jaoks (ka jaguvusseos naturaalarvudel on osaline järjestus). Möbiuse funktsiooni erinevad versioonid esinevad töövahendina paljudes matemaatiliste tulemuste tõestustes, muuhulgas funktsioonide pöördelementide leidmiseks Möbiuse inversioonivalemit kasutades. Kirsi lõputöös ongi vaadeldud Möbiuse funktsiooni ja inversioonivalemi võimalikult abstraktset algebralist versiooni.

Sümbolitest koosnevate jadade sarnasuse mõõtmine on tähtsal kohal paljudes rakendustes, näiteks geneetikas, tekstitöötluses ja mujal. Üks võimalus sarnasuse mõõtmiseks on joondus – püütakse paigutada jadasid kohakuti nii, et ühest jadast teise saamiseks võiks vaja olla muudatusi (sümboli muutmine, lisamine, eemaldamine) teha võimalikult vähe. Meetodid, mis leiavad parima (optimaalse) joonduse, on pikkade jadade korral siiski liiga aeglased. Kristjan Vimma lõputöös uuritakse mõningaid suboptimaalseid meetodeid (joondusi) jadade sarnasuse mõõtmiseks (jadade liikmeteks on siin sõltumatud, sama Bernoulli jaotusega juhuslikud suurused, sümboliteks seega 0 ja 1). Joonduste kohta tõestatakse keskmiste skooride piirväärtuste koondumised vastavateks konstantideks ning võrreldakse tulemusi simulatsioonil saaduga.

Martin Puškini lõputöö on kodeerimisteooria vallast, täpsemalt, põhimõisteks on privaatne infohankekood (ingl. k. private information retrieval, PIR). Sõna privaatne võiks näitlikkustada nii, et kasutaja soovib hajusandmebaasist kätte saada mingit videot, ühegi konkreetse serveri haldajal pole võimalust teada saada, millist videot see kasutaja alla laadib, aga ometi saab kasutaja oma video kätte. Selliste kodeerimismeetodite jaoks on teada Griesmeri tõke, millest väiksema mahuga kodeerimine pole võimalik. Töös on uuritud kodeerimisülesande versiooni, kus nõudlus info suhtes on ebaühtlane (nt mõnda videot soovitakse alla laadida sagedamini kui mõnda teist), ingl. k. unequal data demand (UDD). Puškini töös on privaatsete infohankekoodide jaoks tõestatud Griesmeri tõkke UDD versioon, uuritud, millal Griesmeri tõke selles olukorras kehtib võrdusena, ning üldistatud ka muid PIR koodide kohta tuntud tõkkeid UDD PIR koodide juhule.

Urmas Luhaäär uuris kvantaalide laiendeid. Tuntud algebraline struktuur on ring ehk hulk koos temal defineeritud liitmis- ja korrutamistehtega, kusjuures tehetelt nõutakse arvude vallast tuttavaid omadusi – assotsiatiivsus, distributiivsus, (liitmise) kommutatiivsus jmt. Ringide tuntud näideteks on täisarvud, ratsionaalarvud, reaalarvud, aga ka näiteks reaalsete elementidega n-mõõtmelised ruutmaatriksid. Kui ringi mõiste juures liitmine asendada suurima elemendi (üldjuhul ülemise raja) võtmisega, saadakse kvantaali mõiste (lisanüansiks on siin veel see, et algebras ei vaadata lõpmata paljude elementide summat – seda ei saa üldiselt teha ilma piirväärtuse mõistet sisse toomata –, aga ülemine raja võib küll olla võetud lõpmatust hulgast). Töös on sõnastatud ja tõestatud ühe 2020. aastast pärineva ringiteooria-alase artikli mõningate tulemuste analoogid kvantaalide jaoks.

Deivid Saadi lõputöös uuriti 2016. aastast pärit tulemust, mille kohaselt rangelt kumera Banachi ruumi ühikkera on plastiline. Meetrilist ruumi nimetatakse plastiliseks, kui iga punktidevahelisi kaugusi mittesuurendav üksühene vastavus tegelikult säilitab need kaugused. Plastilisuse mõiste on võrdlemisi uus (põhjalikumalt uuritud alates aastast 2006) ning teada pole isegi see, kas on olemas Banachi ruum (st. vektorruum, mille igale vektorile on omistatud pikkus ehk norm), mille ühikkera (st. vektorite hulk, mille kaugus nullpunktist pole suurem kui 1) ei oleks plastiline.

Jon Hendrik Aruvälja lõputöö tutvustab arvuteooriast pärinevat abc-hüpoteesi. Hüpotees püstitati 1985. aastal ning ta väidab, et täisarvude võrduse a+b=c korral arvu abc erinevate algtegurite korrutis pole üldiselt palju väiksem kui arv c. (Täpne matemaatiline sõnastus on mõnevõrra keerukam.) Hüpotees on tänaseni tõestamata; kui hüpotees kehtiks, järelduks sellest mitmete teiste kuulsate arvuteooria hüpoteeside kehtivus ja üsna vahetult ka (juba muul viisil tõestatud) teoreemid (muuhulgas ka Fermat’ suur teoreem).

Tolmani-Oppenheimeri-Volkovi (TOV) võrrand kirjeldab tähe (sfääriliselt sümmeetrilise ideaalse vedeliku) rõhu, tiheduse ja keras raadiusega r sisalduva massi vahelist seost, võttes arvesse ruumi kõverdumist suure massiga keha lähedal. Selle kolme tundmatuga diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja kaht lisaseost: tiheduse ja massi ning rõhu ja tiheduse vahelist seost, viimane seos sõltub tähe tüübist. Jaanus Tomsoni lõputöös on TOV võrrandit vaadeldud valgete kääbuste ja neutrontähtede korral. Saadud võrrandisüsteem on lahendatud ligikaudu Euleri meetodi abil. On leitud tähtede massiprofiilid (keras raadiusega r sisalduva massi m kõverad rm-teljestikus erinevate rõhkude korral) ning massi-raadiuse kõverad (tähe massi sõltuvus tähe raadiusest).

Palju õnne eduka lõpu puhul! Matemaatika ja statistika instituudis kaitstud tööde loetelu võib näha SIIT.