Pisut selle aasta lõputöödest: matemaatika bakalaureuseõpe
Matemaatika ja statistika instituudis kaitsti edukalt matemaatika õppekaval 13 bakalaureusetööd 10. ja 12. juunil. Kaitsjateks olid Randal Annus, Nikolai Sovetnikov, Karl Oskar Kuuse, Pirje Õunpuu, Karl-Joan Alesma, Kerttu Inger Kail, Richard Friedrichs, René Piik, Mathilde Manuela Nigul, Karl-Ingmar Adamson, Erko Olumets, Annika Jaakson ja Lota Otsus.
Palju õnne töö edukalt kaitsnutele!
Randal Annus uuris ternaarsete seostega algebrat, mis leiab rakendust Pauli printsiibi ternaarses analoogis. Kutsume antud struktuuri Grassmanni algebra ternaarseks analoogiks. Ta näitas, et 3 moodustajaga θ1, θ2 ja θ3 erihul on tegemist 29-dimensionaalse vektorruumiga. Tõestas 4-järku monoomide alamruumis kehtivad kommutatsiooni seosed ning andis samaväärse tingimuse elemendi nulliga võrdumiseks. Põhitulemusena tõestas, et rühmal Z3 põhinev kommutaatori ternaarne üldistus rahuldab Grassmanni algebra ternaarses analoogis Jacobi samasuse ternaarset analoogi.
Nikolai Sovetnikov bakalaureusetöö keskendus transponeeritud Poissoni superalgebrale. Tema töös selgitatakse transponeeritud Poissoni algebra mõistet ning teisi mõisteid, mis on seotud Poissoni struktuuridega. Uuris transponeeritud Poissoni (super)algebra seost 3-Lie (super)algebraga. Transponeeritud Poissoni superalgebra ja selle paaris derivatsiooni põhjal konstrueeris ternaarse Lie superalgebra.
Karl Oskar Kuuse kirjutab, et 1970. aastatel tõestati Banachi ruumide teoorias tuntud Radon-Nikodymi omadust on võimalik kirjeldada geomeetriliselt kasutades selleks hammaspunktide mõistet. Seejuures pakub vastav teema matemaatikutele huvi tänapäevani, kuna endiselt on lahtine küsimus, kas Radon-Nikodymi omadus järeldub Krein-Milmani omadusest, mis on samuti üks põhjalikult uuritud Banachi ruumide omadus. Tema lõputöö keskendus eelkõige just hammaspunktide uurimisele erinevates Banachi ruumides, kirjeldades seejuures ka nende vahekorda ekstreemum- ja pidevuspunktidega. Muuhulgas tõestas kuulsa tulemuse, et hammaspunktid on teatud eeldustel parajasti kõik ekstreemumpunktid, mis on samaaegselt ka pidevuspunktid, ning kasutas vastavat teoreemi, et kirjeldada hammaspunkte otsesumma ruumides.
Pirje Õunpuu bakalaureusetöös tõestati üksikasjalikult artikli ”Banach Spaces with small weakly open subsets of the unit ball and massive sets of Daugavet and ∆-points“ (arXiv: 2309.03610 [math.FA]) põhitulemus. Artikli põhitulemus oli, et kui Ω on perfektne kompaktne Hausdorffi ruum, siis leidub esialgse normiga ekvivalentne norm nii, et ühikkeras leidub kuitahes väikese diameetriga suhteliselt nõrgalt lahtiseid alamhulki ning ühiksfääril leidub punkt, mis pole Delta punkt, seega pole ka Daugaveti punkt. Põhiteoreemis väidetakse, et Daugaveti punktide hulk on nõrgalt tihe, kuid töö käigus pani tähele, et preprindis esitatud tõestus sisaldab viga, mida ei suutnud parandada.
Karl-Joan Alesma sõnul nimetatakse varjatud Markovi ahela segmenteerimiseks ülesannet, kus proovitakse selle mudeli varjatud ahelat mingis "parimas" mõttes hinnata. Selle jaoks on olemas mitmeid algoritme nagu näiteks Viterbi ja PMAP, seejuures mõlemal on omad puudused. Murdepunktideks nimetatakse indekseid, mille korral vaadeldava vektori väärtus muutub. Oma töös uuris ta segmenteerimist, kus kasutas ära praktikas teinekord esinevat informatsiooni murdepunktide kohta või selle puudumisel ennustas, millised need murdepunktid võiksid olla. Nende leidmiseks tõi sisse uue kaofunktsiooni, mis põhineb Binderi kaofunktsioonil, ning näitas, et sellele vastavat riski on võimalik minimiseerida kasutades dünaamilist planeerimist. Kirjeldas ära tulemused kaheastmeliseks segmenteerimiseks ning selle variatsioonide jaoks.
René Piiki bakalaureusetöös defineeris ja uuris Segali topoloogilisi algebraid (STA). Oma töös defineeris algebrate Dorroh' laiendid ja punktiviisilised laiendid ning hiljem topoloogiliste algebrate vastavad laiendid. Edasi defineeris Segali topoloogilised algebrad ja vaatles lihtsamaid näiteid neist struktuuridest. Töös tõestas, et STA-st saab konstrueerida uue STA, kui vaadelda esialgses kolmikus (A, f, B) esinevate algebrate A ja B asemel nende Dorroh' või punktiviisilisi laiendeid.
Mathilde Manuela Niguli kirjutab, et klassikaline Nikodými tõkestatuseteoreem ütleb, et kui σ-algebral määratud tõkestatud aditiivsete arvväärtuseliste hulgafunktsioonide hulk on sellel σ-algebral hulgaviisi tõkestatud, siis see hulgafunktsioonide hulk on tõkestatud täisvariatsiooninormi järgi. Aastal 1979 tõestas Valdivia sellele teoreemile järgmise tugevduse: kui σ-algebra on esitatud tema alamkogumite mittekahaneva loenduva ühendina, siis vähemalt ühel (ja seega lõpmatul hulgal) nendest alamkogumitest on sama omadus, mis σ-algebral Nikodými tõkestatuseteoreemist (s.t. iga antud σ-algebral määratud tõkestatud aditiivsete arv- väärtuseliste hulgafunktsioonide hulk, mis on sellel alamkogumil hulgaviisi tõkestatud, on tõkestatud täisvariatsiooninormi järgi). Oma bakalaureusetöös esitas ta nimetatud Valdivia teoreemi üksikasjaline tõestus.
Erko Olumets uuris oma bakalaurusetöö kumerusruume, mis on kumeruse mõistet üldistavad algebralised struktuurid. Peamise tulemusena näitas samaväärsust erinevate aksiomaatiliste kirjelduste vahel. Rakendusena kasutas üht aksiomaatilistest kirjeldustest vabade kumerusruumide defineerimiseks.
Annika Jaakson tutvustas oma bakalaureusetöös kaalutud kategooria mõistet ning kirjeldas lisatingimusi, mida kategooriateooriast tuntud korrutise, kokorrutise, astme, koastme, funktori ja adjunktsiooni mõisted peavad rahuldama, et olla mõistlikul viisil kaalutud kategooria struktuuriga kooskõlas. Tõi näiteid nende mõistete kohta arhetüüpsetest kaalutud kategooriatest, nagu näiteks meetriliste ruumide kategooria, punktiga meetriliste ruumide kategooria ning Banachi ruumide kategooria. Samuti tõestas mõned üldised omadused, mida kaaludega kooskõlas olevad adjunktsioonid rahuldavad.
Lota Otsuse bakalaureusetöös vaadeldakse interpoleerimist pidevate lineaarsplainidega ning lineaarse teist liiki Volterra integraalvõrrandi ligikaudset lahendamist splain-kollokatsioonimeetodiga. Ta käsitles nii pideva tuumaga kui ka nõrgalt singulaarse tuumaga integraalvõrrandite lahendamist. Töö eesmärgiks oli uurida esitatud meetodi koonduvust ning saadud numbriliste tulemuste vastavust teooriale.
