Arvude hulgad

Mõisted ja omadused

Selles osas on esitatud ülesanded, kus tuleb leida, kui palju on arve, mis rahuldavad etteantud tingimusi.

Näiteks arv 2010 on 4-kohaline.

  • Kui palju on üldse neljakohalisi arve? Alustame sellest, et teeme kindlaks, et esimene ehk kõige väiksem 4-kohaline arv on 1000 ja viimane ehk kõige suurem 4-kohaline arv on 9999. Selleks, et arvutada, kui palju 4-kohalisi arve on, lahutame suurimast arvust väikseima arvu ja liidame ühe:

9999 - 1000 + 1 = 9000.

  • Arv 2010 jagub 3-ga. Kui palju on 4-kohalisi arve, mis jaguvad 3-ga? Jällegi teeme kindlaks, et esimene 4-kohaline arv, mis jagub 3-ga, on 1002 ja viimane on 9999. Selleks, et arvutada, kui palju on 4-kohalisi arve, mis jaguvad 3-ga, lahutame suurimast 3-ga jaguvast arvust väikseima 3-ga jaguva arvu, saadud vahe jagame 3-ga ja liidame ühe:

(9999 - 1002) : 3 + 1 = 3000.

  • Teiselt poolt, kuna kokku on 9000 4-kohalist arvu ja iga kolmas arv jagub 3-ga, siis 3-ga jaguvaid 4-kohalisi arve on 9000 : 3 = 3000.

Ülesanded

1.  Arv 2010 on neljakohaline ning jagub arvudega 2 ja 3. Kui palju on neljakohalisi arve, mis jaguvad 2-ga ja 3-ga?

__________________________________________________________________________________________

2. Arv 2010 jagub arvuga 3 ning selle numbrite summa on 3. Kui palju on nende omadustega neljakohalisi arve?

__________________________________________________________________________________________

3. Neljakohalist arvu nimetame eriliseks, kui tema korrutis arvuga 5 on ka neljakohaline arv. Kas arv 2010 on eriline? Leia, kui palju on erilisi neljakohalisi arve.

__________________________________________________________________________________________

4. Kui palju on selliseid neljakohalisi arve, mille kahe esimese ja kahe viimase numbri korrutised on võrdsed nulliga? Näiteks arv 2010 on sellise omadusega.

 

Ülesannete lahendused ja vastused

1. Kui arv jagub 2-ga ja 3-ga, siis jagub ka 6-ga. Esimene 4-kohaline arv, mis jagub 6-ga, on 1002 ning viimane on 9996. Seega kokku on

(9996 - 1002) : 6 + 1 = 1500

4-kohalist arvu, mis jaguvad 6-ga.

__________________________________________________________________________________________

2. Kuna 3-ga jaguvad kõik arvud, millede ristsummad on 3, siis piisab leida kõik 4-kohalised arvud ristsummaga 3. Otsitavate arvude numbrid võivad olla kas hulgast (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 2) või (0, 0, 0, 3), kusjuures number 0 ei saa olla 4-kohalise arvu esimeseks numbriks. Seega saab moodustada

a. kolm 4-kohalist arvu numbritest (0, 1, 1, 1), nendeks on 1110, 1101 ja 1011;

b. kuus 4-kohalist arvu numbritest (0, 0, 1, 2), nendeks on 1200, 1020, 1002, 2100, 2010 ja 2001;

c. üks 4-kohaline arv numbritest (0, 0, 0, 3), selleks on 3000.

Kokku saab moodustada 10 erinevat 4-kohalist arvu etteantud omadusega.

__________________________________________________________________________________________

3. Ilmselt arv 2010 ei ole eriline, sest korrutis 2010 · 5 = 10050 ei ole 4-kohaline. Kõige väiksem eriline 4-kohaline arv on 1000 (kõige väiksem 4-kohaline arv), sest korrutis 1000 · 5 = 5000 on 4-kohaline. Leiame kõige suuremat erilist 4-kohalist arvu. Selle korrutis 5-ga ei tohi olla suurem kõige suuremast 4-kohalisest arvust 9999. Arvule 9999 eelnev arv, mis jagub 5-ga, on 9995. Järelikult 9995 : 5 = 1999 on kõige suurem eriline 4-kohaline arv. Kokku on

1999 - 1000 + 1 = 1000

erilist 4-kohalist arvu.

__________________________________________________________________________________________

4. Selleks, et neljakohalise arvu kahe esimese numbri korrutis oleks võrdne nulliga, peab teine number olema 0 (sest esimene number ei tohi 0 olla). Seega esimeseks numbriks on üks numbritest 1 kuni 9 ja teiseks on 0.

Selleks, et kahe viimase numbri korrutis oleks võrdne nulliga, kas kolmas number peab olema 0 (ning neljandaks on üks numbritest 1 kuni 9) või neljas number peab olema 0 (ning kolmandaks on üks numbritest 1 kuni 9) või mõlemad peavad olema nullid.

Kokku on 9 võimalust selleks, et kahe esimese numbri korrutis oleks võrdne nulliga ning 19 võimalust, et kahe viimase numbri korrutis oleks võrdne nulliga. Järelikult, et kahe esimese ja kahe viimase numbri korrutised oleksid võrdsed nulliga, on 9 · 19 = 171 võimalust.

2010

 

maksim ivanov
Pealeht | Sisukord | Ülesanded | Test | Lingid | Autorist
© 2010   |  TÜ Teaduskool   |  Tartu Annelinna Gümnaasium
Создание сайтов ЕкатеринбургШаблоны сайтовПоиск товаров - справочник цен, каталог магазинов, прайс-листыБесплатные шаблоны дизайна образовательных сайтов